Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'apprécition des copies.

 Exercice 1 (3 points) - Commun à tous les candidats

L'espace est muni du repère orthonormal .
Soient (P) et (P') les plans d'équations respectives et .
Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1).

1. Démontrer que les plans (P) et (P') sont perpendiculaires.

2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :
où t est un nombre réel.

3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P') .

4. En déduire la distance du point A à la droite (d).

 Exercice 2 (3 points) - Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée de connaissances
Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b].

2. Soient les deux intégrales définies par .
   a) Démontrer que I = —J et que .
   b) En déduire les valeurs exactes de I et de J.

 Exercice 3 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A
On considère l'équation : (E) z³ — (4 + i) z² + (13 + 4i) z — 13i = 0 où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.

2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z³ — (4 + i) z² + (13 + 4i) z — 13i = (z — i)(az² + bz + c).

3. En déduire les solutions de l'équation (E).

Partie B
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct , on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, 2 + 3i et 2 — 3i.

1. Soit r la rotation de centre B et d'angle . Déterminer l'affixe du point A', image du point A par la rotation r.

2. Démontrer que les points A', B et C sont alignés et déterminer l'écriture complexe de l'homothétie de centre B qui transforme C en A'.

 Exercice 4 (4 points) - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à 10^—3 près.

1. Un représentant de commerce propose un produit à la vente.
Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est égale à 0,2.
Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu'il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à :

2. Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l'a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu'il ait eu son permis du premier coup est égale à :

3. Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à :

4. Un tireur sur cible s'entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30 centimètres. On admet que la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à :

a)

b)

c)

d)

Bac Scientifique
Liban - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'apprécition des copies.

  Exercice 2 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormal .
On considère la droite (d) dont un système d'équations paramétriques est
On note A le point de coordonnées (2 , -1 , 1), B le point de coordonnées (4 , -2 , 2) et C le point de (d) d'abscisse 1.

1. Proposition 1
" La droite (d) est parallèle à l'axe ".

2. Proposition 2
" Le plan P d'équation est le plan passant par A et orthogonal à (d) ".

3. Proposition 3
"La mesure de l'angle géométrique est radians ".

4. Soit G le barycentre des points pondérés (A ; -1), (B ; 1) et (C ; 1).
Proposition 4
" Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu ".

5. Proposition 5
" La sphère de centre C et passant par B coupe le plan P d'équation ".

 Exercice 2 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe z associe le point d'affixe z' définie par : z' = 2iz + 1.
Proposition 1 : " Cette transformation est la similitude directe de centre A d'affixe , d'angle et de rapport 2 ".

2. Dans l'espace muni du repère orthonormal , on note S la surface d'équation .
Proposition 2 : " La section de S avec le plan d'équation z = 5 est un cercle de centre A de coordonnées (-1 , 0 , 5) et de rayon 5 ".

3. Proposition 3 : " 5⁷⁵⁰ - 1 est un multiple de 7 ".

4. Proposition 4 : " Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n + 4 et de 4n + 3 est égal à 7 ".

5. Soient a et b deux entiers naturels.
Proposition 5 : " S'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 2 alors le PGCD de a et b est égal à 2 ".

 Exercice 3 (4 points) - Commun à tous les candidats

On considère deux urnes U₁ et U₂.
L'urne U₁ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
L'urne U₂ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.
On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :
Etape 1 : on tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on la remet dans U₁.
Etape n (n 2) :
    Si la boule tirée à l'étape (n - 1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on la remet dans U₁.
    Si la boule tirée à l'étape (n - 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U₂, on note sa couleur et on la remet dans U₂.

On note A_n l'évènement " le tirage a lieu dans l'urne U₁ à l'étape n " et p_n sa probabilité.
On a donc p₁ = 1.

1. Calculer p2.

2. Montrer que pour tout n entier naturel non nul, p_n+1 = 0,8p_n + 0,05.
On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

3. Calculer p₃.

4. a) Démontrer par récurrence que pour tout n entier naturel non nul, p_n > 0,25.
   b) Démontrer que la suite (pn) est décroissante.
   c) En déduire que la suite (p_n) est convergente vers un réel noté .
   d) Justifier que vérifie l'équation : . En déduire la valeur de .

 Bac Scientifique
Métropole - La Réunion
Session Septembre 2007

L'utilisation de la calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures

 Exercice 1 - Commun à tous les candidats (5 points)

Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes.

1. Restitution organisée de connaissances
La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue.
On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier.
Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
    P : Soit la fonction définie sur par ; alors est dérivable sur , de dérivée donnée sur par : .
    Q : Soit u une fonction dérivable sur et soit la fonction définie sur par ; alors est dérivable sur , de dérivée donnée par .

2. On désigne par g la fonction définie sur ] -1 ; 1[ par g(0) = 0 et où désigne la dérivée de la fonction g sur ]-1 ; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciter .
On considère alors la fonction composée h définie sur par .
      a) Démontrer que pour tout de on a , où désigne la dérivée de h.
      b) Calculer puis donner l'expression de .

 Exercice 2 - Commun à tous les candidats (6 points)

1. La suite u est définie par : pour tout entier naturel n.
      a) On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan ci-dessous, la droite d'équation et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.
      b) Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est .
      c) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : .
      d) Etudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

2.   a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :

c'est-à-dire que

      b) La suite v est définie par avec n décimales consécutives égales à 7.
Ainsi v₀ = 1,2,   v₁ = 1,27   et   v₂ = 1,277.
En utilisant le a démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c'est-à-dire le quotient de deux entiers).

 Exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

Soit les nombres complexes : .
      a) Ecrire sous forme algébrique.
      b) Donner les modules et arguments de .
      c) En déduire .
      d) Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives . Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
      e) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe .

 Exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

1. On considère l'ensemble A₇ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
      a) Pour tout élément a de A₇, écrire dans le tableau figurant à la fin de l'exercice l'unique élément y de A₇ tel que ay 1 (modulo 7).
      b) Pour entier relatif, démontrer que l'équation (modulo 7) équivaut à (modulo 7).
      c) Si a est un élément de A₇, montrer que les seuls entiers relatifs solutions de l'équation (modulo 7) sont les multiples de 7.

2. Dans toute cette question, p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble A_p = {l ; 2 ; ... ; p - 1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de A_p.
      a) Vérifier que a^{p - 2} est une solution de l'équation (modulo p).
      b) On note r le reste dans la division euclidienne de a^{p - 2} par p. Démontrer que r est l'unique solution dans A_p, de l'équation (modulo p).
      c) Soient et y deux entiers relatifs. Démontrer que (modulo p) si et seulement si est un multiple de p où y est un multiple de p.
      d) Application : p = 31. Résoudre dans A₃₁ les équations : (modulo 31) et (modulo 31). A l'aide des résultats précédents, résoudre dans l'équation (modulo 31).

 Exercice 4 - Commun à tous les candidats (4 points)

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur :
    (E) :
   (E₀) : .

1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E₀).

2. Soient et g deux fonctions dérivables sur et telles que .
Démontrer que la fonction est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E₀).

3. Déterminer la solution de (E) telle que . 

Bac Scientifique
Centres Etrangers - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

 Exercice 1 (4 points) - Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des trois propositions , B ou C est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlèeve 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à 0.

Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires.

1. On tire au hasard simultanément 3 boules de l'urne.
   a) La probabilité de tirer 3 boules noires est :

A.

B.

C.

   b) La probabilité de tirer 3 boules de la même couleur est :

A.

B.

C.

2. On tire au hasard une boule dans l'urne, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants.
   a) La probabilité d'obtenir 5 fois une boule noire est :

A.

B.

C.

   b) La probabilité d'obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :

A.

B.

C.

3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note :
        R₁ l'événement : « La première boule tirée est rouge » ;
        N₁ l'événement : « La première boule tirée est noire » ;
        R₂ l'événement : « La deuxième boule tirée est rouge » ;
        N₂ l'événement : « La deuxième boule tirée est noire ».
   a) La probabilité conditionnelle P_R1(R₂) est :

A.

B.

C.

   b) La probabilité de l'événement est :

A.

B.

C.

   c) La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est :

A.

B.

C.

   d) La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu'on a obtenu une boule noire au second tirage est :

A.

B.

C.

 Exercice 2 (5 points) - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

I. Restitution organisée de connaissances

1. Démontrer qu'un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si .

2. Démontrer qu'un nombre complexe z est réel si et seulement si .

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l'égalité : .

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct .
On se propose de démontrer, à l'aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d'affixes respective a, b, c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l'origine O, a pour orthocentre le point H d'affixe a + b + c.

II. Etude d'un cas particulier

On pose : a = 3 + i,   b = -1 + 3i,   c = .

1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2. Placer les points A, B, C et le point H d'aflixe a + b + c, puis vérifier graphiquement que le point H est l'orthocentre du triangle ABC.

III. Etude du cas général

ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C.

1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si : .

2. On pose .
   a) En utilisant la caractérisation d'un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w est imaginaire pur.
   b) Verifier l'égalité : et justifier que : .
   c) En déduire que le nombre complexe est imaginaire pur.

3. Soit H le point d'affixe a + b + c.
   a) Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs .
   a) Prouver que , où k est un entier relatif quelconque.
(On admet de même que ).
   c) Que représente le point H pour le triangle ABC ?

 Exercice 2 (5 points) - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . L'unité graphique est 2 cm.
Le but de cet exercice est d'étudier la similitude plane indirecte d'écriture complexe : , et d'en donner deux décompositions.

I. Restitution organisée de connaissances

On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude plane directe autre qu'une translation est de la forme z'= az + b, où a et b sont des nombres complexes avec .
Déterminer en fonction de a et de b l'affixe du centre d'une telle similitude plane directe.

II. Première décomposition de

Soit g la similitude plane directe d'écriture complexe : .

1. Préciser les éléments caractéristiques de g (centre, rapport, angle).

2. Déterminer une réflexion s telle que .

III. Deuxième décomposition de

1. Montrer que admet un unique point invariant noté . Déterminer l'affixe de .

2. Soit la droite d'équation : .
Montrer que pour tout point N appartenant à , le point appartient aussi à .

3. Soit la réflexion d'axe et k la transformation définie par : .
   a) Donner l'écriture complexe de .
(Indication : on pourra poser et utiliser deux points invariants par pour déterminer les nombres complexes a et b.)
   b) En déduire que l'écriture complexe de k est : .
   c) Donner la nature de la transformation k et préciser ses éléments caractéristiques.

4. Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte comme composée d'une réflexion et d'une homothétie.

 Exercice 3 (4 points) - Commun à tous les candidats

Dans un plan muni d'un repère orthonormal , on désigne par la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de , ne s'annulant pas sur l'intervalle I.
On note M un point de d'abscisse et d'ordonnée .
On désigne par la tangente à la courbe au point M.
On rappelle qu'une équation de est de la forme : .

I. Question préliminaire
1. Montrer que coupe l'axe des abscisses en un point H dont l'abscisse vérifie : .

2. Montrer que coupe l'axe des ordonnées en un point K dont l'ordonnée vérifie : .

II. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions pour lesquelles la différence est constante et égale à k, pour tout nombre réel . (Propriété 1)
   a) Démontrer que vérifie la propriété 1 si et seulement si vérifie l'équation différentielle :

2. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 1 et déterminer pour la fonction de cette famille qui vérifie de plus la condition : .

III. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions pour lesquelles la différence est constante et égale à k, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle I = ]0 ; +[. (Propriété 2)

1. Démontrer que vérifie la condition posée si et seulement si vérifie l'équation différentielle : .

2. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 2 et déterminer pour la fonction de cette famille qui vérifie la condition : .

 Exercice 4 (7 points) - Commun à tous les candidats

Le but de l'exercice est de montrer que l'équation (E) : , admet une unique solution dans l'ensemble des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.

I. Existence et unicité de la solution

On note la fonction définie sur par : .

1. Démonter que est solution de l'équation (E) si et seulement si .

2. Etude du signe de la fonction f
   a) Etudier le sens de variation de la fonction sur .
   b) En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur , notée .
   c) Démontrer que appartient à l'intervalle .
   d) Etudier le signe de sur l'intervalle [0 ; ].

II. Deuxième approche

On note g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : .

1. Démontrer que l'équation est équivalente à l'équation .

2. En déduire que est l'unique réel vérifiant : .

3. Calculer et en déduire que la fonction g est croissante sur l'intervalle [0 ; ].

III. Construction d'une suite de réels ayant pour limite

On considéra la suite (u_n) définie par : u₀ = 0 et, pour tout entier naturel n, par : u_n+1 = g(u_n).

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 u_n u_n+1 .

2. En déduire que la suite (u_n) est convergente. On note sa limite.

3. Justifier l'égalité : . En déduire la valeur de .

4. A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u₄ arrondie à la sixième décimale. 

Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Session 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

 Exercice (8 points)

Une enquête a été menée sur le mode de vie de 700 femmes de plus de 40 ans toutes atteintes d'un cancer lié au tabac. On a obtenu les renseignements suivants :
47 % de ces femmes n'ont jamais fumé
6 % de ces femmes consomment beaucoup d'aliments riches en béta-carotène
Parmi les femmes consommant beaucoup de béta-carotène, 7 n'ont jamais fumé.

1. C'est au cours d'une enquête sur le mode de vie et l'état de santé d'une population de 60 000 femmes du plus de 40 ans, que l'on a trouvé que 700 de ces femmes étaient atteintes d'un cancer lié au tabac.
Déterminer pour cette population le pourcentage de femmes ayant développé an cancer lié au tabac.
Arrondir à 0,01 % près.

2. Compléter le tableau suivant.

3. On choisit au hasard une femme parmi celles qui ont développé un cancer lié au tabac.
On note A l'événement : "la femme choisie consomme beaucoup d'aliments riches en béta-carotène" et B l'événement : "la femme choisie est une fumeuse ou une ancienne fumeuse".
Si nécessaire arrondir les résultats à 0,001 près.
   a) Calculer la probabilité de chacun des événements A et B.
   b) Définir par une phrase l'événement , puis calculer la probabilité de cet événement.
   c) Définir par une phrase l'événement , puis calculer la probabilité de cet événement.

4. On choisit au hasard une femme parmi les fumeuses ou les anciennes fumeuses.
Calculer la probabilité que cette femme consomme beaucoup de béta-carotène.
Arrondir le résultat à 0,001 près.

 Problème (12 points)

Partie A

Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 12] par : .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :
    2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses
    1 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

On note la fonction dérivée de la fonction .

l. a) Calculer et montrer que : .
   b) Etudier le signe de sur l'intervalle [0 ; 12].
   c) Dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; 12].
Indiquer les valeurs exactes des nombres portés dans ce tableau : et le maximum de .

2. Soit A le point d'abscisse 0 de la courbe et (T) la tangente en A à la courbe .
Déterminer une équation de la tangente (T).

3. a) Compléter le tableau suivant (arrondir les rèsultats à 0,1 près).

t	0	0,5	1	1,5	2	3	5	7	9	12
			8,7			6,1	3,4		2,1

   b) Tracer la tangente (T) et la courbe sur la feuille de papier millimétré fournie.

Partie B

Un sportif a absorbé un produit dopant.
On admet que représente le taux de produit dopant, en , présent dans le sang de ce sportif en fonction du temps t, en heures, écoulé depuis l'absorption durant les douze heures qui suivent cette absorption.

1. Déterminer par le calcul le taux de produit dopant présent dans le sang du sportif au bout de 2 heures et 30 minutes.
Arrondir à 0,1 près.

2. Au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang du sportif est-il maximal ?
Exprimer le résultat en heures et minutes.

3. Les règlements sportifs interdisent l'usage de ce produit dopant. Le taux maximum autorisé est de 3 .
Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang de ce sportif redescend en dessous de 3 .
Laisser apparents les traits de construction utiles.

voir la correction

Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

 Exercice (9 points)

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées ; une seule de ces quatre affirmations est exacte.
Barème : chaque réponse exacte rapporte 1,5 point ; chaque réponse inexacte retire 0,5 point ; l'absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice sera zéro.

Compléter le tableau ci-dessous en inscrivant très lisiblement les réponses choisies (a, b, c ou d) :

1. Le nombre d'allocataires du RMI âgés de plus de 50 ans est passé de 150 000 en 1995 à 262 500 en 2005. Entre 1995 et 2005, ce nombre a augmenté d'environ :

2. La droite qui passe par les points dits A(2 ; 7) et B(0 ; -3) a pour équation :

a)

b)

c)

d)

3. La fonction est définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par . Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse 1 est :

4. La dérivée de la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par est telle que :

a)

b)

c)

d)

5. Dans une cage, il y a cinq lapins, deux blancs et trois noirs, et quatre cochons d'Inde, deux blancs et deux marrons. La probabilité qu'un animal choisi au hasard dans la cage soit blanc est :

a)

b)

c)

d)

6. Dans un club, on a recueilli les lieux de séjour des 120 membres pour les dernières vacances. Chacun avait choisi un séjour à la mer ou bien à la campagne. Les résultats de l'enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.

On choisit une personne au hasard dans ce club. La probabilité que ce soit un homme ou une personne ayant passé ses dernières vacances à la mer est :

a)

b)

c)

d)

 Problème (11 points)

Partie A

On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 12] par : .

1. a) On pose u(t) = 0,4t et v(t) = e^1-0,5t. On note u', v' et les dérivées respectives des fonctions u, v et .
Calculer u'(t) et v'(t). En déduire .
   b) Vérifier que .
   c) Etudier le signe de sur l'intervalle [0 ; 12].
   d) Dresser le tableau de variation de sur l'intervalle [0 ; 12].

2. Compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à 0,01 près) :

t	0	0,25	0,5	1	2	3	4	6	9	12
		0,24				0,73				0,03

3. Tracer la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
      1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses,
      20 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

Partie B

On a mesuré la concentration d'un médicament dans le plasma sanguin d'un patient pendant les douze heures qui ont suivi son administration orale.
Cette concentration plasmatique (en mg.L^-1) au temps t (en heures) est où est la fonction étudiée dans la partie A.

1. Calculer la concentration plasmatique l h 30 min après l'administration du médicament (le résultat sera arrondi à 0,01 près).

Les questions suivantes seront traitées à l'aide du graphique et l'on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.

2. Pour quelles valeurs de t la concentration plasmatique est-elle de 0,7 mg.L^-l ?

3. Pendant combien de temps la concentration plasmatique reste-t-elle supérieure à 0,3 mg.L^-1 ?
Exprimer le résultat en heures et minutes. 

Bac Technologique 2007 - Série Sciences et Technologies de la Gestion

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédacion dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (3 points)

Cet exercice est un questionnaire a choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est 0.

Vous reporterez sur votre copie la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.

1. Le nombre -3 est solution de l'équation :
     

2. Soit la fonction dérivable sur définie par : .
Sa fonction dérivée est donnée par :
     

3. La population d'une commune est passée de 3 000 à 6 000 habitants en 20 ans. Le taux d'évolution annuel moyen (à 0,01 % près) a été de :
     

 Exercice 3

On se propose dans cet exercice, d'étudier l'évolution de la consommation d'eau minérale des Français depuis 1970.

Partie A : La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, donne la consommation moyenne d'eau minérale en en litres par Français sur une année :

1. a) Que signifie le nombre 37,5 obtenu dans la case C3 ?
On attend une explication en français et la justification de ce nombre à l'aide d'un calcul.
   b) Quelle formule faut-il écrire dans la case C3 pour compléter la colonne C en recopiant cette formule vers le bas ?

2. a) Calculer le taux d'évolution global de la consommation d'eau minérale entre les années 1970 et 2000.
   b) En déduire que le taux d'évolution décennal moyen entre les années 1970 et 2000 est de 55% (à 1% près).
   c) Si l'on fait l'hypothèse que la consommation d'eau minérale continue à évoluer en suivant le taux décennal de 55% au delà de l'an 2000, quelle consommation, à un litre près, peut-on prévoir pour l'année 2010 puis pour l'année 2040 ?

Partie B : Le tableau suivant donne l'évolution de cette consommation, en litre par personne entre 1995 et 2004. Le nuage de points correspondant est à donner. 
Le but est de rechercher un ajustement affine de ce nuage de points.

1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer ce point sur le graphique.

2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation la droite d'ajutstement affine de en sous la forme où et seront arrondis à 0,1 près.

3. Tracer la droite sur le graphique de l'annexe 2.

4. a) À l'aide de l'équation précédente, estimer la consommation d'eau minérale par Français en 2010 (arrondie au litre près).
   b) Retrouver graphiquement le résultat précédent.
   c) Le résultat obtenu en 4.a) est différent du résultat obtenu dans la partie A question 2.
Pouvait-on s'y attendre ?

 Exercice 4 (6 points)

On considère une fonction définie sur l'intervalle [-2 ; 2].

Partie1

La fonction étudiée dans la première partie est définie sur [-2 ; 2] par :

1. Calculer .

2. On note la fonction dérivée de .
   a) Calculer .
   b) Résoudre dans [-2 ; 2], l'inéquation .
   c) En déduire l'intervalle sur lequel la fonction est croissante. 

Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Antilles Guyane - Session 2007

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de ma rédaction dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (3 points)

Le tableau suivant indique l'évolution du chiffre d'affaires (en milliers d'euros) d une entreprise entre 2001 et 2005 :

Année	2001	2002	2003	2004	2005
Rang	1	2	3	4	5
Chiffre d'affaires (yi	340	341	343	341	344

Chaque affirmation ci-après comporte trois réponses possibles ; pour chaque question une seule réponse est exacte. Toute réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlèrve 0,5 point ; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif la note de l'exercice est ramenée à 0.

Recopier clairement sur la copie la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.

1. Les coordonnées du point moyen sont :

G(2,5 ; 341,8) ;

G(3 ; 342,1) ;

G(3 ; 341,8).

2. La droite D d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation:

y = 0,8x + 339,4 ;

y = 0,9x + 339,1 ;

y = 0,8x + 341,8.

3. Le chiffre d'affaires en milliers d'euros, estimé pour 2006 à l'aide de l'ajustement précédent est de :

344,5 ;

346,6 ;

344,2.

 Exercice 2 (7 points)

On s'intéresse à l'évoution de la population d'une ville V et on veut étudier plusieurs modèles d'évolution. En 2005, la population de la ville V est estimée à 10 000 habitants.

Partie I : étude des deux modèles

1. Première hypothèse de croissance
En analysant l'évolution récente, on fait d'abord comme hypothèse que la population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an.
On note u₀ = 10 000 la population en 2005, et u_n la population en (2005 + n).
   a) Quelle est la nature de la suite (u_n) ?
   b) Exprimer u_n, en fonction de n.
   c) En quelle année la population atteindra-t-elle 20 000 habitants ?

2. Deuxième hypothèse de croissance
On travaille avec l'hypothèse d'une augmentation de 4,7 % par an.
On note v_n la population en (2005 + n). Nous avons alors v₀ = 10 000.
   a) Quelle sera alors la population en 2006 ? En 2007 ?
   b) Quelle est la nature de la suite (v_n) ? Exprimer v_n en fonction de n.
   c) Calculer la population de la ville en 2020.

En examinant l'évolution de villes comparables, des experts ont estimé que la population de la ville V considérée allait doubler en 15 ans.
   d) Le résultat trouvé en 2.c) vous paraît-il correspondre à ce que pensaient les experts ?

Partie II : analyse des résultats sur tableur

On veut utiliser un tableur pour comparer l'évolution de la population suivant les deux modèles:

1. Quelle formnule faut-il entrer en B3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite ?

2. Quelle formule faut-il rentrer en C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite ?

3. En cellule B8, quel sera alors le résultat affiché ?

 Exercice 3 (4 points)

Un établissement scolaire compte 130 élèves en terminale STG. Ces élèves sont répartis en trois spécialités : CGRH, mercatique et CFE.
50 % des élèves sont en mercatique et 45 d'entre eux sont des garçons.
30 élèves sont en CFE et dans cette spécialité, il y a autant de filles que de garçons.
En CGRH, il y a 6 fois plus de filles que de garçons.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Faire figurer sur la copie le détail des calculs.

2. Dans cette question, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
Un élève est choisi au hasard parmi les 130 élèves de terminale STG.
On considère les événements suivants :
M : " l'élève choisi est en mercatique " ;
F : " l'élève choisi est une fille " ;
H : " l'élève choisi est en CGRH ".
   a) Calculer P(M) et P(H).
   b) Définir par une phrase l'événement MF puis calculer p(MF).
   c) Calculer la probabilité conditionnelle sachant M de F notée p_M(F). Traduire par une phrase le résultat obtenu.

Partie A

La fonction de la partie A est définie sur [-2;5] par : .

1. On note la fonction dérivée de . Montrer que, pour tout de [-2 ; 5], .

2. a) Résoudre algébriquement l'équation .
   b) Donner le signe de suivant les valeurs de dans l'intervallel [-2 ; 5].
   c) En déduire le tableau de variations de .

3. On rappelle que (D) est la droite d'équation .
   a) Résoudre l'inéqtation .
   b) Interpréter graphiquement, à l'aide de (C) et (D), le résultat précédent. 

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

 Exercice 1 (5 points)

1. Déterminer 3 réels a, b et c tels que pour tout nombre complexe on ait : .
En déduire la résolution dans de l'équation .

2. Dans le plan muni d'un repère orthonormal (0 ; ; ) (unité 2 cm), on considère les points d'affixe , B d'affixe et C d'affixe .
    a) Placer les points A, B et C.
    b) Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.

3. On considère la rotation R de centre O et d'angle et on appelle A', B' et C' les images respectives de A, B et C par R.
    a) Déterminer les formes exponentielles de , , puis de , , .
    b) Placer A', B' et C' sur la figure précédente.
    c) Vérifier que , , sont solutions de l'équation .

 Exercice 2 (4 points)

Partie A

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise A s'élevait à 230 000 euros.
Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 15 000 euros.

1. Calculer le chiffre d'affaires en 1991.

2. Soit le chiffre d'affaires de l'année 1990 + . Quelle est la nature de la suite ? Préciser le premier terme et la raison de cette suite.

3. Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise A.

Partie B

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise B s'élevait à 150 000 euros. Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 7,4 %.

1. Calculer le chiffre d'affaires en 1991.

2. Soit le chiffre d'affaires de l'année 1990 + .
Justifier que est une suite géométrique de raison 1,074.

3. Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise B.

Partie C

1. Que constate-t-on en 2006 pour les entreprises A et B ?

2. En 2006, le chef de l'entreprise B affirme qu'à ce rythme son entreprise aura dans 15 ans, un chiffre d'affaires pratiquement double de celui de l'entreprise A. A-t-il raison ? Justifier.

 Problème (11 points)

Partie A

Soit la fonction définie sur ]0 ; +[ par .

1. Déterminer les limites de en 0 et +.

2. Soit la dérivée de . Montrer que

3. Dresser le tableau de variation de sur ]0 ; +[ .

4. Calculer et en déduire le signe de sur ]0 ; +[ .

Partie B

Soit la fonction définie sur ]0 ; +[ par .
On appelle la courbe de dans un repère orthonormal (0 ; ; ) (unité 3 cm).

1. a) Déterminer la limite de en +
   b) Déterminer la limite de en 0, on remarquera que .
Que peut-on en déduire ?

2. a) Montrer que pour tout strictement positif .
   b) En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de sur l'intervalle ]0 ; +[ .
   c) Dresser le tableau de variations de sur l'intervalle ]0 ; +[ .

3. On rappelle que celle tout de l'intervalle ]0 ; +[, .
Donner les solutions dans l'intervalle ]0 ; +[ de l'équation .

4. Tracer et la droite d'équation .

5. Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.

Partie C

1. Montrer que la fonction définie sur intervalle ]0 ; +[ par est une primitive de sur l'intervalle ]0 ; +[ .

2. On considère dans le plan le domaine délimité l'a la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
    a) Hachurer le domaine .
    b) Calculer l'aire du domaine en unités d'aires puis en cm². On donnera la valeur exacte puis la valeur approche arrondie au mm² près. 

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique
Option B : systèmes motorisés
Option C : structures métalliques
Option D : bois et matériaux associés
Option E : matériaux souples
Génie des matériaux
Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 2 exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les 2 exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et deux feuilles de papier millimétré sont distribués avec le sujet.

 Exercice 1 (4 points)

Une entreprise fabrique des plaquettes de métal. Pour cela elle utilise deux machines, une qui les ajuste en longueur et une autre qui les ajuste en largeur.
Les machines sont programmées pour donner des plaquettes de 2,5 cm sur 1,5 cm.
Des erreurs de manipulation peuvent conduire à des dimensions non conformes : une longueur de 2,6 cm au lieu de 2,5 cm ; une largeur de 1,6 cm au lieu de 1,5 cm.

Afin de vérifier la conformité de ces plaquettes, on procède à deux tests : un test sur la longueur et un test sur la largeur. On effectue les deux tests sur 100 plaquettes et on obtient :
20 plaquettes ont une longueur de 2,6 cm ;
18 plaquettes ont une largeur de 1,6 cm ;
5 plaquettes ont une dimension de 2,6 cm sur 1,6 cm.

On prélève au hasard une plaquette parmi les 100. Elles ont donc toutes la même probabilité d'être choisies.

1. Compléter le tableau des effectifs suivant :

2. a) Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard soit conforme à ce que veut l'entreprise ?
   b) Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard ait exactement une de ses dimensions non conforme ?

3. Soit X la variable aléatoire qui à chaque plaquette prélevée au hasard associe le nombre de ses dimensions non conformes.
   a) Donner les valeurs possibles de X.
   b) Donner la loi de probabilité de X.

 Exercice 2 (5 points)

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue z : z² - 2z + 4 = 0.
On donnera les solutions sous forme algébrique puis, pour chacune d'elles, le module et un argument.

2. le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm.
On note A, B et C les points du plan ayant pour affixes respectives
z_A = ,     z_B = 2,     z_C =
   a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
   b) Montrer que les triangles OAB et OBC sont équilatéraux.
   c) Soient D, E et F les points tels que le polygone ABCDEF soit un hexagone régulier.
Construire les points D, E et F sur la figure commencée dans la question 2. a).
On rappelle qu'un hexagone est un polygone à 6 côtés.
   d) Calculer le produit des affixes des 6 sommets de cet hexagone régulier.

 Problème (11 points)

Soit la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par : .
Soit la courbe représentative de dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

1. Limites aux bornes
   a) Déterminer la limite de la fonction en +.
   b) Déterminer la limite de la fonction en -.
On pourra établir au préalable que, pour tout nombre réel , .

2. Asymptote oblique
   a) Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe .
   b) Etudier la position relative de la droite par rapport à la courbe .

3. Etude des variations de la fonction f
   a) Montrer que, pour tout nombre réel , où est la dérivée de la fonction .
   b) Résoudre dans l'équation d'inconnue : .
   c) Etudier le signe de la dérivée de la fonction sur .
   d) Etablir le tableau de variation de la fonction .
   e) Calculer et déterminer le signe de pour tout nombre réel appartemant à l'intervalle [0 ; 1].

4. Tracer la droite et la courbe dans le repère .

5. Calculer l'aire en cm² de la partie du plan délimitée par la coube , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation . On donnera la valeur exacte de , puis la valeur arrondie à 10^-2.

6. Contrôler l'ordre de grandeur du résultat de la question précédente en calculant l'aire en cm² de la surface d'un ou deux trapèzes que l'on précisera. 

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.

 Exercice 1 (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0 ; ; ). L'unité graphique est 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d argument .

1. Pour tout nombre complexe , on pose : .
   a) Calculer .
   b) Déterminer une factorisation de sous la forme : où et sont deux nombres réels que l'on déterminera.
   c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : .

2. On note A, B et C les points d'affixes respectives : , et .
   a) Placer les points A, B et C dans le repère (0 ; ; ).
Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle de centre O, dont on donnera le rayon.
   b) Déterminer un argument du nombre complexe puis un argument du nombre complexe .
En déduire une mesure en radian de l'angle .
   c) Déterminer alors une mesure en radian de l'angle .
   d) Démontrer qu'une mesure de l'angle est .
   e) En déduire l'égalité : .

 Exercice 2 (4 points)

Pour former une pièce métallique à partir d'un profilé de 2 centimètres d'épaisseur, on utilise un marteau pilon.
Le marteau pilon frappe toutes les 6 secondes, et à chaque coup, l'épaisseur de métal diminue de 2 %.
On note ( entier naturel) l'épaisseur en millimètres de la pièce après frappes de marteau pilon.
On a donc .

1. Calculer , et . On donnera les résultats arrondis au centième de millimètre.

2. Démontrer que la suite est géométrique, et préciser sa raison.

3. Déterminer en fonction de l'entier .

4. Quelle est l'épaisseur, arrondie au centième de millimètre, de la pièce après 10 frappes ?

5. On considère que la pièce est terminée dès que son épaisseur est inférieure à 14 millimètres.
Quel est le temps minimal pour que la pièce soit terminée ?

 Problème (11 points)

Le plan est rapporté au repère orthonormal (0 ; ; ). (L'unité graphique est 2 cm).
Le but du problème est l'étude de la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par : , puis de calculer une aire.

I. Etude d'une fonction auxiliaire g

On note g la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par : .

1. Calculer la fonction dérivée de la fonction .

2. Déterminer le sens de variation de la fonction . (On ne demande pas les limites en 0 et en +.)

3. Résolution de l'équation .
   a) Démonter que sur l'intervalle [ 1 ; 2 ] l'équation possède une solution unique .
   b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de ce nombre

4) Déduire de ce qui précède le signe de suivant les valeurs de , dans l'intervalle ] 0 ; + [ .

II. Etude de la fonction f

1. Déterminer la limite de en 0. Qu'en déduit-on pour la courbe ?

2. Etude en +.
   a) Déterminer la limite de en .
   b) Démontrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe .
   c) Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbe et à la droite .
   d) Etudier la position de la courbe par rapport à la droite .

3. Etude des variations de .
   a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction . Vérifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle ] 0 ; + [ : où est la fonction étudiée dans la partie I.
   b) En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonction .

4. On note la tangente à la courbe au point d'abscisse e² . Montrer que est parallèle à l'asymptote .

5) Dans le repère (0 ; ; ), tracer la droite , la tangente et la courbe à l'aide de l'étude précédente. (On prendra .)

III. Calcul d'une aire

On définit sur l'intervalle ] 0 ; + [ la fonction par : .

1. Démontrer que est une primitive de la fonction sur l'intervalle ] 0 ; + [.

2. Soit la région du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
   a) Hachurer la région sur votre figure.
   b) On note l'aire, exprimée en unité d'aire, de la région . Déterminer la valeur exacte de .
   c) Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm². 

Bac Technologique - Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Session 2007

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

  Exercice 2 (11 points)

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
En octobre 2006, une tempête a balayé le Sud Ouest de la France provoquant de nombreuses coupures d'électricité.

Partie A :

Un lycée a un effectif de 1400 élèves ; 70 % d'entre eux habitent en zone rurale et les autres en zone urbaine.
Suite à la tempête, 5 % des élèves habitant en ville et 75 % de ceux qui habitent à la campagne ont été privés d'électricité.

l. Compléter le tableau suivant :

2. On croise au hasard un élève de ce lycée. Calculer la probabilité des événements suivants :
      A : " L'élève habite en zone urbaine "
      B : " L'élève est sans électricité "

3. On croise au hasard un élève qui n'a pas d'électricité. Quelle est la probabilité qu'il habite en zone rurale ? (On donnera une valeur approchée arrondie au centième).

Partie B :

Si nécessaire, les résultats obtenus dans cette partie seront arrondis au centième.
La tempête a privé d'électricité 20 000 foyers dans tout le département.
Des moyens importants ont été mis en oeuvre pour rétablir rapidement le courant. Des études statistiques portant sur le nombre d'abonnés restant privés d'électricité ont donné les résultats suivants.

1. Compléter le tableau suivant où ln(N_i) est le logarithme népérien de N_i.

2. Représenter le nuage de points de coordonnées (t_i , y_i) dans un repère orthogonal. On prendra pour unités : 1 cm pour 2 en abscisse, 1 cm pour 1 en ordonnée.

3. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.

4. Soit D la droite passant par G et de coefficient directeur -0,13. Déterminer une équation de D. Tracer D sur le graphique.

5. On utilise la droite D comme droite d'ajustement. Calculer le temps nécessaire pour que 99 % des abonnés concernés retrouvent l'électricité. 

Bac Scientifique
Session 2006

Les calcultrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures

 Exercice 1 - Commun à tous les candidats (5 points)

Soit un repère orthonormal de l'espace.
On considère les points A (2; 4; 1), B (0; 4; —3), C (3; 1; —3), D (1; 0; —2), E (3; 2; —1), I.

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.
Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.

1. Une équation du plan (ABC) est : 2 + 2y — z — 11 = 0.

2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :
(CD) .

5. Le point I est sur la droite (AB).

 Exercice 2 - Commun à tous les candidats (5 points)

1. Soit la fonction définie sur par : . On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
    a) Déterminer les limites de en - et en +; quelle conséquence graphique pour peut-on en tirer ?
    b) Justifier que est dérivable sur . Déterminer sa fonction dérivée .
    c) Dresser le tableau de variation de et tracer la courbe .

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l'intégrale I_n défini par .
    a) Etablir une relation entre I_{n+ 1} et I_n.
    b) Calculer I₁, puis I₂.
    c) Donner une interprétation graphique du nombre I₂. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1.c.

3. a) Démontrer que pour tout nombre réel de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l'inégalité suivante : .
    b) En déduire un encadrement de I_n puis la limite de I_n quand n tend vers +l'infini.

 Exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct
Dans tout l'exercice, P{O} désigne le plan P privé du point origine O.

1. Question de cours
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
Si z et z' sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz') = arg(z) + arg(z') à 2k près, avec k entier relatif.
Pour tout vecteur non nul d'affixe z on a : à 2k près, avec k entier relatif.
    a) Soit z et z' des nombres complexes non nuls, démontrer que à 2k près, avec k entier relatif.
    b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives a, b, c, on a : à 2k près, avec k entier relatif.

2. On considère l'application de P{O} dans P{O} qui, au point M du plan d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par . On appelle U et V les points du plan d'affixes respectives 1 et i.
    a) Démontrer que pour z 0, on a arg(z ') = arg(z) à 2k près, avec k entier relatif.
En déduire que, pour tout point M de P{O}, les points M et M' = f(M) appartiennent à une même demi-droite d'origine O.
    b) Déterminer l'ensemble des points M de P{O} tels que f(M) = M.
    c) M est un point du plan P distinct de O, U, et V, on admet que M' est aussi distinct de O, U, et V.
Etablir l'égalité
En déduire une relation entre et

3. a) Soit z un nombre complexe tel que z  1 et z  i et soit M le point d'affixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si est un nombre réel non nul.
    b) Déterminer l'image par de la droite (UV) privée de U et de V.

 Exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

Partie A : Question de cours

1. Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

II s'agit de résoudre dans le système (S)

1. Démontrer qu'il existe un couple (u, v) d'entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13 × 12v + 6 × 19u est une solution de (S).

2. a) Soit n₀ une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à

    b) Démontrer que le système équivaut à (12 x 19).

3. a) Trouver un couple (u, v) solution de l'équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.
    b) Déterminer l'ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b. ).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13.
On divise n par 228 = 12 × 19. Quel est le reste r de cette division ?

 Exercice 4 - Commun à tous les candidats (5 points)

1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. A chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.
    a) Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
    b) Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
    c) Quelle est la probabilité p_n que n tirs suffisent pour crever le ballon ?
    d) Pour quelles valeurs de n a-t-on : p_n > 0,99 ?

2. Ce tireur participe au jeu suivant :
Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon.
Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,4096 (on pourra utiliser un arbre pondéré).

3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s'il est bien équilibré ou s'il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :

    a) Calculer les fréquences de sorties f_k observées pour chacune des faces.
    b) On pose . Calculer d².
    c) On effectue maintenant 1 000 simulations des 200 lancers d'un dé tétraédrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre d². On obtient pour la série statistique des 1 000 valeurs de d² les résultats suivants :

Au risque de 10 %, peut-on considérer que ce dé est pipé ? 

Bac Scientifique
Centres étrangers - Session 2006

L'utilisation d'une calcultrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 7 (ou 9 pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité)     Durée de l'épreuve : 4 heures

 Exercice 1 - Commun à tous les candidats (4 points)

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
i. Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :

ii. Pour tous nombres réels a et b :

Soient z₁ et z₂ deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :

|z₁ z₂| = |z₁| |z₂|     et     à 2 près.

Partie B

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, désigne le conjugué de z et |z| désigne le module de z.

1. Si z = , alors z⁴ est un nombre réel.

2. Si z + = 0, alors z = 0.

3. Si z + = 0, alors z = i ou z = -i.

4. Si |z| = 1 et si |z + z'| = 1, alors z' = 0.

 Exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.
On lit le nombre sur la face cachée.
Pour k {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note p_i la probabilité d'obtenir le nombre k sur la face cachée.
Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p₁, p₂, p₃ et p₄ dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

1. Sachant que p₄ = 0,4 démontrer que p₁ = 0,1, p₂ = 0,2 et p₃ = 0,3.

2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.
   a) Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?
   b) Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?

3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.
   a) Pour 1 i 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l'événement (X = i).
   b) Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.
   c) Calculer la probabilité de l'événement (X 1). On donnera une valeur arrondie au millième.

4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux.
On note U_n la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.
   a) Montrer que (U_n) est une suite géométrique et qu'elle est convergente.
   b) Calculer S_n = puis étudier la convergence de la suite (S_n).
   c) Déterminer le plus petit entier n tel que S_n > 0,999.

 Exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier 4ⁿ - 1, lorsque n est un entier naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors a^p-1 - 1 0 mod p ».

Partie A : Quelques exemples

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4ⁿ est congru à 1 modulo 3.

2. Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que 4²⁸ - 1 est divisible par 29.

3. Pour 1 n 4, déterminer le reste de la division de 4ⁿ par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 4^4k - 1 est divisible par 17.

4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4ⁿ - 1 est-il divisible par 5 ?

5. À l'aide des questions précédentes déterminer quatre diviseurs premiers de 4²⁸ - 1.

Partie B : Divisibilité par un nombre premier

Soit p un nombre premier différent de 2.

1. Démontrer qu'il existe un entier n 1 tel que 4ⁿ 1 mod p.

2. Soit n 1 un entier naturel tel que 4ⁿ 1 mod p. On note b le plus petit entier strictement positif tel que 4^b 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b.
   a) Démontrer que 4^r 1 mod p. En déduire que r = 0.
   b) Prouver l'équivalence : 4ⁿ - 1 est divisible par p si et seulement si n est multiple de b.
   c) En déduire que b divise p -1.

 Exercice 3 - Commun à tous les candidats (6 points)

On désigne par la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal , (unité graphique : 5 cm).

Partie A : Etude de la fonction

1. Vérifier que pour tout nombre réel : .

2. Déterminer les limites de en - et en +. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

3. Calculer pour tout nombre réel . En déduire les variations de sur .

4. Dresser le tableau des variations de .

5. Tracer la courbe et ses asymptotes éventuelles dans le repère .

Partie B : Quelques propriétés graphiques

1. On considère les points M et M' de la courbe d'abscisses respectives et -. Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM']. Que représente le point A pour la courbe ?

2. Soit n un entier naturel. On désigne par D_n le domaine du plan limité par la droite d'équation y = 1, la courbe et les droites d'équations = 0 et = n, désigne l'aire du domaine D_n exprimée en unité d'aire.
   a) Calculer .
   b) Etudier la limite éventuelle de , lorsque n tend vers +.

Partie C : Calcul d'un volume

Soit un réel positif, on note l'intégrale .
On admet que est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe obtenue pour .

1. Déterminer les nombre réels a et b tels que :

pour tout nombre réel :

2. Exprimer en fonction de .

3. Déterminer la limite de lorsque tend vers +.

 Exercice 4 - Commun à tous les candidats (5 points)

ABCDEFGH est le cube d'arête 1 représenté en annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L’espace est rapporté au repère orthonormal .

Partie A : Un triangle et son centre de gravité

1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.
   a) Calculer les coordonnées de I.
   b) Démontrer que . Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ?

3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).

Partie B : Une droite particulière

Pour tout nombre réel k, on définit deux points M_k et N_k, ainsi qu'un plan de la façon suivante :

• M_k est le point de la droite (AG) tel que ;
• est le plan passant par M_k et parallèle au plan (BDE);
• N_k est le point d'intersection du plan et de la droite (BC).

1. Identifier , et en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance .

2. Calcul des coordonnées de N_k.
   a) Calculer les coordonnées de M_k dans le repère .
   b) Déterminer une équation du plan dans ce repère.
   c) En déduire que le point N_k a pour coordonnées (1 ; 3k - 1 ; 0).

3. Pour quelles valeurs de k la droite (M_kN_k) est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ?

4. Pour quelles valeurs de k la distance M_kN_k est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan .
Tracer la droite sur la même figure.